Родился Беггров в Петербурге в 1841 году. Образование получил в инженерном и артиллерийском училище морского министерства, первое знакомство с морем состоялось во время парада в 1859 году. Эффектное зрелище парада, судов, расцвеченных флагами, произвело впечатление на будущего художника. Он запечатлел увиденное в красках. Рисунки были настолько хороши, что Беггров как офицер и художник был послан военным ведомством в кругосветное путешествие. Сперва на фрегате «Ослабя», а потом на «Александре Невском». Плавание на «Александре Невском» закончилось трагически. Фрегат потерпел крушение у берегов Дании. Эта катастрофа дала Беггрову возможность познакомиться с известным маринистом Боголюбовым, которому было поручено написать картину гибели корабля. Сам Боголюбов на месте крушения не был и воспользовался рисунком Беггрова. Завязавшееся на этой почве знакомство молодого мариниста с влиятельным живописцем помогло Беггрову поступить в Академию художеств в класс профессора М.Клодта. За успехи в учебе Беггров удостоился поощрительной медали.
В 1874 году Беггров был командирован в Париж, где совершенствовался в школе известного художника Бонна. Смерть отца заставила Беггрова вернуться на родину. С этого времени он полностью предался любимому занятию-живописи.
Во второй половине 1890-х годов Беггров поселился в Гатчине. Дом художника находился на улице Александровской под №33. До наших дней он не сохранился.
В Гатчине творчество А.К. Беггрова протекало особенно напряженно. Случившаяся в 1903 году смерть жены художника надломила его душевные силы. С 1906 года он безвыездно проживал в Гатчине, почти прекратив свою творческую деятельность. В конце своей жизни он некоторое время квартировался в доме по Соборной улице. Отсюда в начале 1912 года, в дни 70 – летнего юбилея Беггров пожертвовал крупную денежную сумму в фонд Академии Художеств для помощи бедным художникам, их вдовам и сиротам.
Последние полтора года своей жизни А.К. Беггров был тяжело болен, переживал страшные физические страдания, в ночь на 15 апреля 1914 года он покончил жизнь самоубийством. Пуля пробила сердце, и смерть была моментальной.
Похороны художника состоялись в Гатчине.
